KALKULUS DIFFERENSIAL 1

SISTEM BILANGAN REAL

Pada dasarnya, kalkulus muncul terkait dengan adanya system bilangan real dan sifat-sifat yang dimilikinya. Dalam memahami bilangan real, terlebih dahulu perlu dipahami system bilangan yang lebih sederhana, diantaranya:

1.      Bilangan Asli

System bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli yang dilambangkan dengan N dan terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

2.      Bilangan Bulat

Apabila bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol dan negative dari bilangan tersebut, maka terbentuklah bilangan bulat yang dilambangkan dengan Z dan terdiri dari …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

3.      Bilangan Rasional

Ketika dilakukan suatu pengukuran, bilangan bulat ternyata kurang memadai untuk mewakili kecermatan suatu ukuran. Hal ini disebabkan oleh jarak antar bilangan yang terlalu renggang. Misalkan saja diantara bilangan 0 dan 1 terdapat bilangan  , , , ,  dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk  dengan a dan b bilangan bulat serta b  0. Selanjutnya, bilangan tersebut disebut dengan bilangan rasional dan dilambangkan dengan Q.

4.      Bilangan Irasional

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa bilangan rasional terbentuk sebagai akibat perlu adanya suatu bilangan yang dapat mewakili kecermatan suatu pengukuran, bagaimanakah dengan kasus pengukuran sisi miring dari suatu segitiga siku-siku dengan sisi 1. Berdasarkan perhitungan dengan teorema Pythagoras diperoleh hasil . Bilangan  tidak dapat disusun dalam bentuk  dengan a dan b bilangan ulat serta b  0. Seperti halnya bilangan  dan beberapa bilangan lain. Selanjutnya, bilangan tersebut disebut dengan bilangan irasional dan dilambangkan dengan I.

5.      Bilangan Real

Himpunan semua bilangan rasional dan irasional yang dapat menyatakan hasil suatu pengukuran bersama dengan nol dan negatifnya disebut dengan bilangan real yang dilambangkan dengan R. Apabila kita buat suatu garis bilangan, maka bilangan real akan berada di sepanjang garis bilangan tersebut.

6.      Bilangan Kompleks

System bilangan real sebenarnya masih dapat diperluas lagi ke bilangan kompleks, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a + b , dengan a dan b bilangan real dan  = I adalah bilangan imajiner. Akan tetapi bilangan kompleks akan jarang digunakan disini.

Sifat Operasi Bilangan Real

     Apabila diambil dua bilangan a dan b, selanjutnya dua bilangan itu ditambahkan atau dikalikan untuk memperoleh bilangan baru a+b dan a.b , maka penambahan dan perkalian tersebut memiliki sifat-sifat berikut:

1.      Sifat Komutatif

a+b = b+a dan a.b = b.a

2.      Sifat Asosiatif

a+(b+c) = (a+b)+c dan a.(b.c) = (a.b).c

3.      Sifat Distributif

a(b+c) = ab + ac

4.      Elemen Identitas

Pada operasi penjumlahan elemen identitasnya adalah 0, karena a+0=a. sedangkan pada operasi perkalian elemen identitasnya adalah 1, karena a.1=a

5.      Invers

Setiap bilangan a terhadap operasi penjumlahan memiliki invers –a yang memenuhi a+(-a) = 0. Sedangkan setiap bilangan a  0 terhadap operasi perkalian memiliki invers  yang memenuhi a.=1. Sedangkan pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan a-b = a+(-b) , sedangkan   = a..

Sifat Relasi Urutan

     Bilangan real bukan nol secara sederhana dapat dipisahkan menjadi bilangan real positif dan bilangan real negative. Hal ini memungkinkan dikenal relasi urutan sebagai berikut:

a < b  b – a adalah postif

Pernyataan diatas dibaca “a  kurang dari b jika dan hanya jika b dikurangi a hasilnya adalah positif”. Lebih lanjut, sifat relasi urutan dapat didefinisikan sebagai berikut:

1.      Trikotomi. Jika a dan b bilangan-bilangan, maka satu diantara berikut pasti berlaku: a < b atau a=b atau a > b.

2.      Ketransitifan. Jika a < b dan b < c maka a < c.

3.      Penambahan. Jika a < b maka a +c < b + c.

4.      Perkalian. Jika c positif, a < b maka ac < bc. Dan jika c negatif, a < b maka ac > bc.

Sedangkan apabila relasi urutan < diganti dengan  _dibaca “kurang dari atau sama dengan”) maka relasi urutan didefnisikan sebagai :

a  b  b – a adalah positif atau nol

selanjutnya, sifat ketransitifan, penambahan, dan perkalia hanya perlu disesuaikan dengan mengganti  < dengan  dan  > dengan  .