A. RELASI
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.
Suatu
relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan
atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota
himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2,
3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B
dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan
pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota
himpunan B dengan aturan tertentu.
Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus
1. Himpunan Pasangan Berurutan.
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius
Pada
diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar
(horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
B. FUNGSI
Definisi Fungsi
Fungsi
f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal
f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf
lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f
kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4)
Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat
injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah
anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang
terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan
anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI
SATU SATU.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :
A). Fungsi Konstan
Suatu
fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan.
Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di
mana C bilangan konstan.
B). Fungsi Identitas
Fungsi
Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x.
Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.
C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak
Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.
D). Fungsi Linear
Suatu
fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya
berupa garis lurus.
E). Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x)
disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 +
bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya
berupa parabola.
F). Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.
G). Fungsi Modulus
Suatu
fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini
memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga
mutlaknya.
H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap
Suatu fungsi
f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka
fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Fungsi Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan
tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif
atau dalam korespondensi satu-satu.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara
berikut ini.
a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).
b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).
c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).
Senin, 04 Januari 2016
KALKULUS DIFFERENSIAL 2
PERTIDAKSAMAAN
Menyelesaikan
suatu pertidaksamaan berarti mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan yang himpunan
penyelesaiannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan
berhingga. Karena penyelesaiannya yang berupa himpunan bilangan real, maka
biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau dalam beberapa
kasus berupa gabungan selang-selang.
Ada
dua istilah selang yang akan sering digunakan, yaitu selang terbuka dan selang
tertutup. Pertidaksamaan ganda a < x < b mendeskripsikan selang terbuka
yang terdiri dari semua bilangan antara
a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b dan dilambangkan dengan
(a,b). sebaliknya, pertidaksamaan ganda a x b mendeskripsikan selang
tertutup yang mencakup titik-titik ujung a dan b dan dinyatakan dengan [a,b].
Berikut beberapa contoh penulisan himpunan dan selang :
Himpunan
|
Selang
|
{x| a < x < b}
|
(a,b)
|
{x| a x b}
|
[a,b]
|
{x| a x < b}
|
[a,b)
|
{x| a < x b}
|
(a,b]
|
{x| x b}
|
(-,b]
|
{x| x < b}
|
(,b)
|
{x| x a}
|
[a,
|
{x| x > a}
|
(a,
|
R
|
(-)
|
Dalam
menyelesaikan pertidaksamaan, harus dipahami terlebih dahulu sifat relasi
urutan. Hal ni berarti, suatu pertidaksamaan dapat dikenai operasi-operasi tertentu
tanpa mengubah hmpunan penyelesaiannya, yaitu :
1.
Suatu pertidaksamaan
dapat ditambahkan bilangan yang sama pada kedua ruasnya.
2.
Pada suatu
pertidaksamaan dapat dikalikan kedua ruas dengan suatu bilangan positif.
3.
Pada suatu
pertidaksamaan dapat dikalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif, tetapi
selanjutnya tanda pertidaksamaan harus dibalik arahnya.
KALKULUS DIFFERENSIAL 1
SISTEM
BILANGAN REAL
Pada dasarnya, kalkulus muncul
terkait dengan adanya system bilangan real dan sifat-sifat yang dimilikinya.
Dalam memahami bilangan real, terlebih dahulu perlu dipahami system bilangan
yang lebih sederhana, diantaranya:
1.
Bilangan Asli
System bilangan yang paling sederhana adalah bilangan
asli yang dilambangkan dengan N dan terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, …
2.
Bilangan Bulat
Apabila bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol
dan negative dari bilangan tersebut, maka terbentuklah bilangan bulat yang
dilambangkan dengan Z dan terdiri dari …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
3.
Bilangan Rasional
Ketika dilakukan suatu pengukuran, bilangan bulat
ternyata kurang memadai untuk mewakili kecermatan suatu ukuran. Hal ini disebabkan
oleh jarak antar bilangan yang terlalu renggang. Misalkan saja diantara
bilangan 0 dan 1 terdapat bilangan , , , , dan sebagainya.
Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk dengan a dan b bilangan
bulat serta b 0. Selanjutnya, bilangan
tersebut disebut dengan bilangan rasional dan dilambangkan dengan Q.
4.
Bilangan Irasional
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa
bilangan rasional terbentuk sebagai akibat perlu adanya suatu bilangan yang
dapat mewakili kecermatan suatu pengukuran, bagaimanakah dengan kasus
pengukuran sisi miring dari suatu segitiga siku-siku dengan sisi 1. Berdasarkan
perhitungan dengan teorema Pythagoras diperoleh hasil . Bilangan tidak dapat disusun dalam
bentuk dengan a dan b bilangan
ulat serta b 0. Seperti halnya
bilangan dan beberapa bilangan
lain. Selanjutnya, bilangan tersebut disebut dengan bilangan irasional dan
dilambangkan dengan I.
5.
Bilangan Real
Himpunan semua bilangan rasional dan
irasional yang dapat menyatakan hasil suatu pengukuran bersama dengan nol dan
negatifnya disebut dengan bilangan real yang dilambangkan dengan R. Apabila
kita buat suatu garis bilangan, maka bilangan real akan berada di sepanjang
garis bilangan tersebut.
6.
Bilangan Kompleks
System bilangan real sebenarnya masih dapat diperluas
lagi ke bilangan kompleks, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a
+ b , dengan a dan b bilangan
real dan = I adalah bilangan
imajiner. Akan tetapi bilangan kompleks akan jarang digunakan disini.
Sifat Operasi
Bilangan Real
Apabila
diambil dua bilangan a dan b, selanjutnya dua bilangan itu ditambahkan atau
dikalikan untuk memperoleh bilangan baru a+b dan a.b , maka penambahan dan
perkalian tersebut memiliki sifat-sifat berikut:
1.
Sifat Komutatif
a+b = b+a dan a.b
= b.a
2.
Sifat Asosiatif
a+(b+c) = (a+b)+c
dan a.(b.c) = (a.b).c
3.
Sifat Distributif
a(b+c) = ab + ac
4.
Elemen Identitas
Pada operasi
penjumlahan elemen identitasnya adalah 0, karena a+0=a. sedangkan pada operasi
perkalian elemen identitasnya adalah 1, karena a.1=a
5.
Invers
Setiap bilangan a
terhadap operasi penjumlahan memiliki invers –a yang memenuhi a+(-a) = 0.
Sedangkan setiap bilangan a 0 terhadap operasi perkalian memiliki invers yang memenuhi a.=1. Sedangkan pengurangan
dan pembagian didefinisikan dengan a-b = a+(-b) , sedangkan = a..
Sifat Relasi
Urutan
Bilangan real
bukan nol secara sederhana dapat dipisahkan menjadi bilangan real positif dan
bilangan real negative. Hal ini memungkinkan dikenal relasi urutan sebagai
berikut:
a < b b – a adalah postif
Pernyataan diatas dibaca “a kurang dari b jika dan hanya jika b dikurangi
a hasilnya adalah positif”. Lebih lanjut, sifat relasi urutan dapat
didefinisikan sebagai berikut:
1.
Trikotomi. Jika a dan b bilangan-bilangan, maka satu diantara
berikut pasti berlaku: a < b atau a=b atau a > b.
2.
Ketransitifan. Jika a < b dan b < c maka a < c.
3.
Penambahan. Jika a < b maka a +c < b + c.
4.
Perkalian. Jika c positif, a < b maka ac < bc. Dan jika c
negatif, a < b maka ac > bc.
Sedangkan apabila
relasi urutan < diganti dengan _dibaca “kurang dari atau sama dengan”) maka
relasi urutan didefnisikan sebagai :
a b b – a adalah positif atau nol
selanjutnya, sifat
ketransitifan, penambahan, dan perkalia hanya perlu disesuaikan dengan
mengganti < dengan dan
> dengan .
Langganan:
Postingan (Atom)