RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.


Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

4. Dengan Rumus




1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi


3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)



4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}





B. FUNGSI

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.



Sifat Fungsi :

1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.



Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.




Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).




Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

KALKULUS DIFFERENSIAL 2

PERTIDAKSAMAAN

            Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan yang himpunan penyelesaiannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga. Karena penyelesaiannya yang berupa himpunan bilangan real, maka biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau dalam beberapa kasus berupa gabungan selang-selang.

            Ada dua istilah selang yang akan sering digunakan, yaitu selang terbuka dan selang tertutup. Pertidaksamaan ganda a < x < b mendeskripsikan selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara  a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b dan dilambangkan dengan (a,b). sebaliknya, pertidaksamaan ganda a  x  b mendeskripsikan selang tertutup yang mencakup titik-titik ujung a dan b dan dinyatakan dengan [a,b]. Berikut beberapa contoh penulisan himpunan dan selang :

Himpunan	Selang
{x| a < x < b}	(a,b)
{x| a  x  b}	[a,b]
{x| a  x < b}	[a,b)
{x| a < x  b}	(a,b]
{x| x b}	(-,b]
{x| x < b}	(,b)
{x| x  a}	[a,
{x| x > a}	(a,
R	(-)

            Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, harus dipahami terlebih dahulu sifat relasi urutan. Hal ni berarti, suatu pertidaksamaan dapat dikenai operasi-operasi tertentu tanpa mengubah hmpunan penyelesaiannya, yaitu :

1.      Suatu pertidaksamaan dapat ditambahkan bilangan yang sama pada kedua ruasnya.

2.      Pada suatu pertidaksamaan dapat dikalikan kedua ruas dengan suatu bilangan positif.

3.      Pada suatu pertidaksamaan dapat dikalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif, tetapi selanjutnya tanda pertidaksamaan harus dibalik arahnya.

KALKULUS DIFFERENSIAL 1

SISTEM BILANGAN REAL

Pada dasarnya, kalkulus muncul terkait dengan adanya system bilangan real dan sifat-sifat yang dimilikinya. Dalam memahami bilangan real, terlebih dahulu perlu dipahami system bilangan yang lebih sederhana, diantaranya:

1.      Bilangan Asli

System bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli yang dilambangkan dengan N dan terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

2.      Bilangan Bulat

Apabila bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol dan negative dari bilangan tersebut, maka terbentuklah bilangan bulat yang dilambangkan dengan Z dan terdiri dari …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

3.      Bilangan Rasional

Ketika dilakukan suatu pengukuran, bilangan bulat ternyata kurang memadai untuk mewakili kecermatan suatu ukuran. Hal ini disebabkan oleh jarak antar bilangan yang terlalu renggang. Misalkan saja diantara bilangan 0 dan 1 terdapat bilangan  , , , ,  dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk  dengan a dan b bilangan bulat serta b  0. Selanjutnya, bilangan tersebut disebut dengan bilangan rasional dan dilambangkan dengan Q.

4.      Bilangan Irasional

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa bilangan rasional terbentuk sebagai akibat perlu adanya suatu bilangan yang dapat mewakili kecermatan suatu pengukuran, bagaimanakah dengan kasus pengukuran sisi miring dari suatu segitiga siku-siku dengan sisi 1. Berdasarkan perhitungan dengan teorema Pythagoras diperoleh hasil . Bilangan  tidak dapat disusun dalam bentuk  dengan a dan b bilangan ulat serta b  0. Seperti halnya bilangan  dan beberapa bilangan lain. Selanjutnya, bilangan tersebut disebut dengan bilangan irasional dan dilambangkan dengan I.

5.      Bilangan Real

Himpunan semua bilangan rasional dan irasional yang dapat menyatakan hasil suatu pengukuran bersama dengan nol dan negatifnya disebut dengan bilangan real yang dilambangkan dengan R. Apabila kita buat suatu garis bilangan, maka bilangan real akan berada di sepanjang garis bilangan tersebut.

6.      Bilangan Kompleks

System bilangan real sebenarnya masih dapat diperluas lagi ke bilangan kompleks, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a + b , dengan a dan b bilangan real dan  = I adalah bilangan imajiner. Akan tetapi bilangan kompleks akan jarang digunakan disini.

Sifat Operasi Bilangan Real

     Apabila diambil dua bilangan a dan b, selanjutnya dua bilangan itu ditambahkan atau dikalikan untuk memperoleh bilangan baru a+b dan a.b , maka penambahan dan perkalian tersebut memiliki sifat-sifat berikut:

1.      Sifat Komutatif

a+b = b+a dan a.b = b.a

2.      Sifat Asosiatif

a+(b+c) = (a+b)+c dan a.(b.c) = (a.b).c

3.      Sifat Distributif

a(b+c) = ab + ac

4.      Elemen Identitas

Pada operasi penjumlahan elemen identitasnya adalah 0, karena a+0=a. sedangkan pada operasi perkalian elemen identitasnya adalah 1, karena a.1=a

5.      Invers

Setiap bilangan a terhadap operasi penjumlahan memiliki invers –a yang memenuhi a+(-a) = 0. Sedangkan setiap bilangan a  0 terhadap operasi perkalian memiliki invers  yang memenuhi a.=1. Sedangkan pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan a-b = a+(-b) , sedangkan   = a..

Sifat Relasi Urutan

     Bilangan real bukan nol secara sederhana dapat dipisahkan menjadi bilangan real positif dan bilangan real negative. Hal ini memungkinkan dikenal relasi urutan sebagai berikut:

a < b  b – a adalah postif

Pernyataan diatas dibaca “a  kurang dari b jika dan hanya jika b dikurangi a hasilnya adalah positif”. Lebih lanjut, sifat relasi urutan dapat didefinisikan sebagai berikut:

1.      Trikotomi. Jika a dan b bilangan-bilangan, maka satu diantara berikut pasti berlaku: a < b atau a=b atau a > b.

2.      Ketransitifan. Jika a < b dan b < c maka a < c.

3.      Penambahan. Jika a < b maka a +c < b + c.

4.      Perkalian. Jika c positif, a < b maka ac < bc. Dan jika c negatif, a < b maka ac > bc.

Sedangkan apabila relasi urutan < diganti dengan  _dibaca “kurang dari atau sama dengan”) maka relasi urutan didefnisikan sebagai :

a  b  b – a adalah positif atau nol

selanjutnya, sifat ketransitifan, penambahan, dan perkalia hanya perlu disesuaikan dengan mengganti  < dengan  dan  > dengan  .